Martingales et systèmes: faits et mythes

PHOTO / CC0 1.0

 Martingales et systèmes de progression de mises vous feront-ils  gagner aux jeux de hasard et d'argent? Plusieurs disent oui, les mathématiciens disent non. 

Martingales, systèmes et attaques

Un SYSTÈME est une manière de jouer en variant le montant misé selon les gains et les pertes antérieurs. C'est pourquoi on utilise aussi en français les expressions système de mise ou système de progression de mises. Les anglophones parlent de betting systems.

 Les gamblers ajoutent parfois aux systèmes une ATTAQUE, c'est à dire une logique particulière dans le choix des paris. Voici deux exemples d'attaques pour la roulette:

•  jouer la couleur opposée à celle qui a sorti le coup précédent; 
•  jouer la même couleur que celle qui vient de sortir.

 Le plus populaire des systèmes est la MARTINGALE qui consiste à doubler sa mise après chaque perte, pour finir par récupérer toutes ses pertes et faire un modeste profit lorsqu'un gain se produit.

Supposons que vous misez $ 50 sur le rouge à la roulette, si vous gagnez vous empochez $ 100 soit un profit net de $ 50 et votre prochaine mise sera de $ 50. Si vous perdez, vous prochaine mise doit être le double, soit $ 100, si vous perdez à nouveau, vous doublez encore et misez $ 200, etc.

 Lorsque vous gagnerez, votre profit net sera de $ 50. En effet, dans ce dernier exemple: $ 50+$ 100+$ 200 = $ 350 et votre gain brut sera de $ 400. Vous ferez le même profit que si vous aviez gagné dès la première fois, peu importe le nombre de fois où vous aurez perdu et doublé votre mise.

PHOTO / CC0 1.0

Les joueurs ont inventé des systèmes de mises fonctionnant sur des paris et des jeux variés. Mais martingales et autres systèmes sont plus faciles à appliquer lorsque les chances sont approximativement de une sur deux et que les gains doublent notre mise. Par exemple, avec les jeux et paris suivants:

• Roulette: noir ou rouge
• Baccara: joueur ou banque 
• Blackjack: main simple
• Craps: pass ou don't pass
• Sic Bo: petit ou gros

Il existe d'autres variantes de la martingale, telles la grande martingale où les amateurs ne se contentent pas de doubler après une perte, mais ajoutent une mise additionnelle. Toutefois le principe est comparable et ce qui est valable pour la martingale s'extrapole pour la grande martingale ainsi que pour les autres systèmes de mises.

Martingales, systèmes et attaques passionnent les joueurs, et en particulier les joueurs de roulette, depuis plusieurs centaines d'années. De nombreux sites web proposent d'en vendre. Par exemple, celui-ci qui affirme: New Roulette System Strategy Reveals How to Make $13,920 a month Playing Roulette. Alléchant, n'est-ce pas? Toutefois les mathématiciens soutiennent qu'aucune de ces méthodes ne fonctionne.

 Qui dit vrai? Les systèmes et les martingales, renforcés ou non par des attaques, permettent-ils de gagner de l'argent au jeu? Si oui, quels sont les meilleurs? Sinon, pourquoi ne fonctionnent-ils pas? Et s'ils ne marchent pas vraiment... présentent-ils néanmoins des aspects avantageux?

Je vais maintenant démêler le vrai du faux et séparer les faits des mythes sur ce sujet intrigant!

Chances de gagner

PHOTO / CC0 1.0

Supposons que vous voulez faire un profit net de $ 200 avec la martingale et que vous avez un capital de jeu de $ 1000 que vous êtes disposé à risquer. Supposons aussi que vous jouez à un jeu sans avantage mathématique pour le casino, une roulette sans zéro par exemple.  Alors la probabilité de réussite, c'est à dire de gagner $ 200, est de 1,000/ (1000+200) soit  83.33% et la probabilité de perdre tout votre $ 1000 est de 16.66%.

Supposons que vous voulez doubler votre capital de jeu, c'est-à-dire obtenir un profit net de $ 1000 avec votre capital de $ 1000. Alors la probabilité de réussite est de 1000/(1000+1000) c'est-à-dire de 1/2. Et la probabilité de perdre votre capital de 1/2 aussi. Si vous voulez  multiplier votre capital par 4, la probabilité de réussite est de 1/4. Et la probabilité de perte de 3/4. Par 8? La probabilité de gain est de 1/8 et celle de perte de 7/8, etc.

Ce que je viens de dire de la martingale est également valable pour la grande martingale et tous les autres systèmes de mises tels le d'Alembert ou le Labouchère. Les probabilités de succès sont comparables quel que soit le système utilisé.

 Les roulettes réelles possèdent toutefois un ou deux zéros. La probabilité de réussite avec elles se révèle sensiblement moindre que dans les exemples précédents faits avec une roulette théorique sans zéro. Car au lieu d'avoir 18/36 de gagner, nous avons 18/37 sur une roulette anglaise à un seul zéro. Et 18/38 sur une roulette américaine à deux zéros. Pour connaître exactement nos chances de succès si nous voulons gagner 20% de notre capital, le doubler, le multiplier par quatre, il faut faire une simulation informatique.

Martingale et long terme: gros problème!

PHOTO: Dominic Alves / CC BY 2.0

  DEUX RAISONS l'expliquent:

1) La limite maximale de mises imposée par les casinos est la première de ces raisons. Au Casino de Montréal, par exemple, la mise minimale pour les chances simples à la roulette (rouge/noir, manque/passe, pair/impair) est de $ 25 dans les plus basses limites alors que la mise maximale dans les plus hautes limites est de $ 2000.

Supposons que vous vouliez appliquer la martingale et que vous êtes sur une séquence perdante... vous misez $ 25 puis $ 50-$ 100-$ 200-$ 400-$ 800-$ 1600- ARK! Il vous suffit de sept pertes d'affilée pour ne plus être capable de faire la mise suivante de $ 3200.

Mais vous allez me dire que vous ne perdrez certainement pas sept fois de suite? Erreur! La probabilité que cela arrive se calcule ainsi: 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 *1/2 = 1/128. Donc cela va se produire tous les 128 tours en moyenne, soit en supposant 30 tours de roulette à l'heure, toutes les 4 heures.

L'exemple précédent est théorique, car il suppose que vous jouez sur une roulette sans zéro où vos chances de gagner sont de une sur deux. Sur des roulettes réelles avec un ou deux zéros, vos chances de gagner sur chaque tour sont inférieures et la probabilité de perdre sept fois d'affilée se produira plus souvent qu'à tous les 128 tours.

Examinons maintenant d'autres chiffres qui semblent de prime abord encourageants. Supposons que vous commencez votre martingale avec une somme de $ 5 et que vous avez trouvé un casino où vous pouvez miser $ 15 000 au maximum. Voici ce qui va arriver: $ 5-$ 10-$ 20-$ 40-$ 80-$ 160-$ 320-$ 640-$ 1280-$ 2560-$ 5120-$ 10 240- ARK! Après 12 pertes, vous ne serez plus capable de faire la mise suivante de $ 20 480, puisque la limite maximale est de $15 000.

Les chances de perdre 12 fois d'affilée sur une roulette théorique sans zéro sont de 1 sur 4096 et cet événement se produira en moyenne toutes les 140 heures de jeu. Donc vous perdriez la somme que vous êtes prêt à risquer toutes les 140 heures de jeu et plus rapidement que cela sur des roulettes réelles comprenant un ou deux zéros. 

Les casinos ont calculé les mises minimales et maximales autorisées pour qu'il soit impossible aux joueurs de gagner sur le long terme avec des systèmes de progression de mise.

2) La limite du capital des joueurs constitue la seconde raison. Dans mon exemple précédent, seriez-vous disposé à investir dans votre capital de jeu les $20 480 indispensables pour affronter la série de 12 pertes d'affilée? Et les séquences de pertes supérieures à 12 vont nécessairement se produire pour peu que vous jouiez suffisamment d'heures. Saviez-vous que le record obtenu dans un casino est de 42 pertes successives?   

Ce que je viens de dire de la martingale s'applique à tout autre système de progression de mises.

Gagner avec les attaques?

PHOTO: thebarrowboy / CC BY 2.0

  Plusieurs joueurs comprennent que les martingales ne fonctionnent pas pour les deux raisons précédentes, mais croient qu'il suffit d'ajouter une ATTAQUE, c'est-à-dire une méthode de choisir son pari, pour gagner. Il existe trois catégories d'attaques:

• La première prétend qu'il faut jouer les chances qui ne sont pas sorties, par exemple jouer noir à la roulette lorsque le coup précédent était rouge, ou encore jouer noir si les cinq coups précédents étaient rouge. La « logique » derrière cela serait que noir aurait plus de chances d'apparaître après un ou plusieurs rouges.

• La seconde catégorie d'attaques prétend au contraire qu'il faut jouer ce qui vient de sortir. Si le coup précédent était rouge ou si les cinq coups précédents étaient rouge, il faut rejouer le rouge. La « logique » derrière cela serait qu'il faut jouer les numéros  « en forme ».

• La troisième catégorie d'attaques prétend qu'il faut choisir au préalable les chances que nous allons jouer. Par exemple, décider à l'avance de jouer la séquence suivante: deux fois noir, deux fois rouge, deux fois manque, deux fois passe, deux fois pair, deux fois impair et puis recommencer! La  « logique » derrière cela serait qu'il vaut mieux être préparé qu'improviser.

Aucune de ces  « logiques » n'est logique et aucune de ces attaques ne fonctionne! La probabilité que rouge ou noir apparaisse à la roulette anglaise (roulette à un seul zéro) est de 18/37. Après  que rouge soit sorti 20 fois de suite, la probabilité que noir sorte enfin
est de... 18/37. Après que rouge soit sorti 20 fois, la probabilité que rouge sorte à nouveau est de... 18/37.

Tous les jeux de hasard produisent des événements aléatoires et chaque événement aléatoire est indépendant des événements précédents. La bille ne possède ni mémoire ni conscience et chaque nouveau tour de roulette se produit comme s'il était le premier de l'histoire de l'humanité.

Appliquer un système avec une attaque, ou au contraire, sans attaque produit des résultats IDENTIQUES: bonnet blanc, blanc bonnet.

 Gagner avec les mathématiciens

En revanche, si des mathématiciens inventaient un casino mathématique...

• Dans cet établissement de jeu très spécial, les gens pourraient jouer avec des crédits mathématiques plutôt qu'avec de l'argent.

• Il n'y aurait aucune limite maximale de mise.

• Le capital de jeu de chaque joueur serait illimité.

Ces deux derniers éléments sont possibles puisqu'en mathématiques l'ensemble des nombres est infini.

Dans ces conditions, la martingale et tous les autres systèmes de mises fonctionnent parfaitement bien pour l'éternité, même si les mathématiciens nous proposent de jouer sur une roulette à vingt zéros.

On voit que les deux obstacles au succès des martingales sont les limites maximales de mises imposées par les casinos et les limites dans le capital des joueurs. Sans ces deux obstacles, martingales et systèmes sont pleinement efficaces.

Facettes positives des systèmes

PHOTO: yxyBert / CC0 1.0

Espérer devenir riche ou simplement gagner à long terme avec la MARTINGALE, la GRANDE MARTINGALE, le D'ALEMBERT, le LABOUCHÈRE ou toute autre méthode analogue est absurde. Mais cela signifie-t-il que les systèmes de progression de mises sont inutiles? Non! Ces systèmes présentent quatre aspects positifs:

1) Les systèmes apportent du plaisir!
 Plusieurs personnes préfèrent jouer avec un système plutôt que jouer en misant toujours le même montant ou en variant le montant misé de manière fantaisiste. Puisque le but de la majorité des amateurs de casino est de s'amuser, une méthode qui permet d'augmenter la satisfaction des joueurs est pertinente. Dans cette optique, et bien que j'aie moi-même inventé des systèmes de progression de mises, mon  préféré n'est pas l'un des miens, mais plutôt celui du journaliste et politicien britannique Henry Labouchère. J'explique ce système de manière détaillée dans la prochaine section.

2)  Les systèmes nous font gagner à court terme comme si nous contractions une sorte d'emprunt sur le casino. Avec le risque toutefois de perdre la totalité de notre capital de jeu! Un système de progression de mises est un échange entre des petits gains à court terme et une grosse perte à long terme. Mais si nous nous donnons un objectif de gain raisonnable, 20% de la somme que nous sommes prêts à risquer par exemple, nos chances de réussite sont très bonnes. Comme je l'ai montré ci-haut, la probabilité dans ce cas est de 83.33% avec une roulette sans zéro. Et un peu moins que cela avec des roulettes possédant un ou deux zéros.

3) Les systèmes servent de techniques de camouflage pour les joueurs professionnels. Par exemple pour:

a) un compteur de cartes au Black Jack;

b) un joueur de roulette ayant découvert un cylindre où certains numéros sortent plus souvent que d'autres;

c) un joueur de roulette utilisant un ordinateur caché pour prédire dans quelle section du cylindre va tomber la bille;

d) un joueur de Three Card Poker ayant trouvé un croupier maladroit qui montre les cartes.

Ces joueurs professionnels peuvent utiliser une technique de progression de mises pour cacher ou aider à cacher la nature véritable de leur méthode de jeu.

4) Les systèmes créent un effet de levier pour les chasseurs de bonis sur internet sans transgresser les règles de ces casinos. Pour un chasseur de bonis, qui reçoit par exemple $ 100 en bonus contre $ 100 de dépôt, mais n'a pas la possibilité de faire un quitte ou double avec ce $ 200 à cause des règles, il est intéressant d'utiliser un système comme le LABOUCHÈRE pour contourner ces restrictions.

De nos jours, les casinos internet ont instauré des règlements pour empêcher les joueurs de miser d'un seul coup leur dépôt additionné de leur bonus de bienvenue: règlements qui n'existaient pas quand j'étais moi-même chasseur de bonis en 2004. J'ai gagné $ 8,500 sur internet la première année où j'ai pratiqué cette méthode en jouant quelques heures par semaine.

Par conséquent...

seules les méthodes de jeu mentionnées aux numéros 3 et 4 ci-dessus peuvent rapporter de l'argent à long terme. Le rôle des systèmes, martingales ou attaques dans ces méthodes, leur contribution au résultat final, repose simplement sur le fait qu'ils peuvent servir de techniques de camouflage ou servir à contourner des règlements restrictifs. Il s'agit donc d'un rôle complémentaire. Les systèmes ne font pas gagner par eux-même mais peuvent servir de complément à des méthodes efficaces par ailleurs.

Meilleur système: le Labouchère

PHOTO: Antoine Taveneaux / CC BY-SA 3.0

Le LABOUCHÈRE est un dérivé de la martingale où les mises augmentent moins vite de sorte que ce système essaie de déjouer les limites maximales des casinos. Pour commencer, il faut écrire une liste de trois ou quatre nombres. Prenons comme exemple une séquence de quatre nombres:  1,1,2,3 (Cela pourrait aussi bien être 1,1,1 ou 1,2,3 ou 1,1,1,2 ou 1,1,2,4 etc.) La somme de ces nombres constituera votre profit lorsque la séquence de mises sera terminée.

Vous misez la somme du premier et du dernier nombre dans la séquence. Dans notre exemple, avec la séquence 1,1,2,3, la mise est de 4. Quand vous gagnez vous rayez les deux numéros que vous avez misés soit le premier et le dernier dans votre séquence. Ici il faut rayer le 1 et le 3 ce qui donne 1,1,2,3. Votre mise suivante est la somme de 1 et de 2 (le premier et le dernier numéro qui ne sont pas rayés dans la séquence)  ce qui donne 3 et si vous gagnez encore vous rayez ces deux chiffres et vous avez terminé votre séquence en ayant gagné sept unités. Exemple: 1,1,2,3. Gain: 1+1+2+3 = 7. Et vous pouvez recommencer une autre séquence!

Au contraire, quand vous perdez vous ajoutez le montant misé à la fin de la séquence de nombres. Dans notre exemple, au lieu de rayer le premier et le dernier numéro, il faut ajouter le nombre 4 ce qui donne ceci: 1,1,2,3,4. La mise suivante est de 5 (le premier et le dernier nombre de la séquence). Si vous perdez encore vous ajoutez votre mise de 5 à la séquence ce qui donne: 1,1,2,3,4,5. Votre mise suivante est le 6 (1+5).

Si votre unité de mise de base est $ 25, décidez que le chiffre 1 correspond à 25 et le chiffre 2 à 50, etc. Au lieu d'écrire et de compter des séquences de 25,25,50,75 vous écrirez, comme dans notre exemple, 1,1,2,3. Cela va simplifier le calcul!

La beauté de ce système réside en ce que vous cancellez deux nombres de votre séquence pour chaque gain alors que vous en ajoutez un seul pour chaque perte de telle sorte que vous n'avez pas besoin de gagner 50% des coups pour terminer votre séquence et empocher votre profit. Il vous suffit de gagner 33.34% du temps pour réussir. Le LABOUCHÈRE est un système efficace à court terme ou à moyen terme et amusant à utiliser.

Mais son danger, comme celui de tous les autres systèmes, réside dans le fait qu'il peut amener certaines personnes à croire qu'elles ont découvert la poule aux oeufs d'or sous prétexte qu'elles gagnent à court terme. Et à perdre tout leur argent quand la longue séquence perdante finit inévitablement par se produire.

Preuves d'inefficacité

PHOTO: Barande / CC BY-SA 3.0

Preuve no 1: Simulations informatiques. A Las Vegas, quand l'université a été fondée à la fin des années 50, les casinos ont demandé au département d'informatique de faire des simulations avec l'aide d'ordinateurs géants (géants pour l'époque!) pour savoir si des systèmes ou des martingales pouvaient leur nuire. Pour découvrir s'il existait une sorte de système miracle qui pouvait battre les casinos.

Alors l'Université de Las Vegas a étudié la question pendant plusieurs mois et leur conclusion fut qu'il n'existait aucun système ou martingale qui pouvait battre ou renverser l'avantage mathématique des casinos. Ils ont même trouvé que les utilisateurs de systèmes perdaient plus que ceux qui misaient des montants identiques à chaque coup. Cela s'explique par le fait que la mise moyenne d'un amateur de systèmes est plus élevée et qu'il expose à l'avantage du casino qui va venir le  « manger » une plus grosse somme d'argent en moyenne.

 Preuve no 2: Unanimité des experts.  TOUS les mathématiciens et physiciens depuis 250 ans sont unanimes à déclarer que TOUS les systèmes, martingales et attaques ne fonctionnent pas.

Preuve no 3: Profits inchangés pour les casinos.  Cette preuve est la plus décisive car les systèmes et les attaques sont connus et utilisés dans les casinos depuis plusieurs centaines d'années. Or ils n'ont jamais empêché les casinos de générer le profit espéré sur tous les jeux où ces méthodes étaient employées.

Par exemple, à la roulette les casinos font toujours 2.7% de profit (1/37) sur les mises des joueurs pour la roulette anglaise (roulette à un seul zéro) et de 5.26% (2/38) pour la roulette américaine (roulette à deux zéros) ce qui correspond très exactement à l'espérance mathématique des casinos pour ces deux jeux et qui correspond très exactement aussi aux pertes des joueurs sur une grande période de temps! Il est évident que si la martingale, les autres systèmes de mises ou les attaques fonctionnaient, ils endommageraient la marge bénéficiaire des établissements de jeu vu leur popularité et vu qu'il n'y a aucune règle qui interdit de les utiliser.

Petite preuve no 4: Mon expérience personnelle.  Je sais que ce n'est pas une preuve bien solide en comparaison de celles que je viens de mentionner... mais j'ai fait des essais approfondis avec divers systèmes de progression de mises lorsque j'étais plus jeune. Je peux confirmer que cela ne marche pas sur le long terme!

Conclusion

La variable fondamentale pour déterminer si l'on peut gagner à un jeu donné, c'est l'espérance mathématique. Les martingales, systèmes ou attaques n'affectent en rien cette variable, ni dans un sens ni dans l'autre. Si nous ne possédons pas d'avantage mathématique, nous allons nécessairement perdre. Si nous possédons un avantage mathématique, nous allons nécessairement gagner sur le long terme. A la condition de gérer notre capital de jeu de manière à éviter le risque de ruine.

PHOTO: Benutzer Positiv / CC BY-SA 3.0

 François  Blanc, le créateur du casino de Monte-Carlo, disait qu'il n'y avait qu'une manière de faire de l'argent avec les martingales, les systèmes et les attaques: les vendre aux imbéciles!

 ___

Je suggère à ceux qui s'intéressent aux martingales et aux systèmes de lire:

• la page de Michael Bluejay sur les  Betting Systems 
• l'article du mathématicien Michael Shackleford: The truth about Betting Systems 
• l'article du mathématicien Eliot Jacobson:  Betting systems and the house edge 

___

Citation du jour

« Souvenez-vous de ceci: La maison ne bat pas le joueur. Elle lui donne seulement l'opportunité de se battre lui-même. »

Nicholas Dandolos, alias Nick le Grec

-